\subsection{三角形、梯形的中位线}\label{subsec:czjh1-4-11}

\begin{enhancedline}

连结三角形两边中点的线段叫做\zhongdian{三角形的中位线}。

注意：三角形的中位线和三角形的中线不同。

\begin{dingli}[三角形中位线定理]
    三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
\end{dingli}

\begin{wrapfigure}[8]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch4-46}
    \caption{}\label{fig:czjh1-4-46}
\end{wrapfigure}

已知： $\triangle ABC$ 中， $AD = DB$， $AE = EC$（图 \ref{fig:czjh1-4-46}）。

求证：$DE \pingxing BC$， $DE = \exdfrac{1}{2} BC$。

\zhengming 延长 $DE$ 至点 $F$， 使 $EF = DE$， 连结 $CF$。

$\because$ \quad $AE = EC$， $DE = EF$，

$\therefore$ \quad 点 $A$ 与 $C$， $D$ 与 $F$ 关于点 $E$ 对称。

$\therefore$ \quad $AD \pxqdy FC$ （中心对称的性质）。

又 $\because$ \quad $AD = DB$，

$\therefore$ \quad $DB \pxqdy FC$。

$\therefore$ \quad 四边形 $BCFD$ 是平行四边形。

$\therefore$ \quad $DF = BC$， $DE \pingxing BC$ （平行四边形的对边平行且相等）。

$\because$ \quad $DE = \exdfrac{1}{2} DF$，

$\therefore$ \quad $DE = \exdfrac{1}{2} BC$。


连结梯形两腰中点的线段叫做\zhongdian{梯形的中位线}。

\begin{dingli}[梯形中位线定理]
    梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
\end{dingli}


% \begin{figure}[htbp]
%     \centering
%     \begin{minipage}[b]{5cm}
%         \centering
%         \input{../pic/czjh1-ch4-46}
%         \caption{}\label{fig:czjh1-4-46}
%     \end{minipage}
%     \qquad
%     \begin{minipage}[b]{5cm}
%         \centering
%         \input{../pic/czjh1-ch4-47}
%         \caption{}\label{fig:czjh1-4-47}
%     \end{minipage}
% \end{figure}


已知：梯形 $ABCD$ 中，$AD \pingxing BC$， $AM = MB$， $DN = NC$ （图 \ref{fig:czjh1-4-47}）。

\begin{wrapfigure}[8]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch4-47}
    \caption{}\label{fig:czjh1-4-47}
\end{wrapfigure}

求证： $MN \pingxing BC$， $MN = \exdfrac{1}{2} (AD + BC)$。

分析： 我们设法利用三角形中位线定理。 连结 $AN$ 并延长，可得 $\triangle ABE$，
如果能证明 $N$ 是 $AE$ 的中点，那么就容易证明这个定理了。

\zhengming 连结 $AN$ 并延长，交 $BC$ 的延长线于点 $E$。

$\because$ \quad $DN = NC$， $AD \pingxing CE$，

$\therefore$ \quad $AN = NE$ （平行线等分线段定理）。

在 $\triangle ABE$ 中，

$\because$ \quad $AM = MB$， $AN = NE$，

$\therefore$ \quad $MN \pingxing BE$， $MN = \exdfrac{1}{2} (BC + CE)$ （三角形中位线定理）。

又 $\because$ \quad 点 $D$ 与 $C$， 点 $A$ 与 $E$ 关于点 $N$ 对称，

$\therefore$ \quad $AD = CE$。

$\therefore$ \quad $MN = \exdfrac{1}{2} (AD + BC)$。



\liti[0] 求证顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。

已知： 如图 \ref{fig:czjh1-4-48}， 在四边形 $ABCD$ 中，$E$、$F$、$G$、$H$ 分别是 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 的中点。

求证：四边形 $EFGH$ 是平行四边形。

\zhengming 连结 $AC$。

$\because$ \quad $AH = HD$， $CG = GD$，

$\therefore$ \quad $HG \pingxing AC$， $HG = \exdfrac{1}{2} AC$ （三角形中位线定理）。

同理 $EF \pingxing AC$， $EF = \exdfrac{1}{2} AC$。

$\therefore$ \quad $HG \pxqdy EF$。

所以四边形 $EFGH$ 是平行四边形。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch4-48}
        \caption{}\label{fig:czjh1-4-48}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4.0cm]{../pic/czjh1-ch4-subsec11-lx-01.png}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\begin{lianxi}

\xiaoti{（口答） $A$、$B$ 两点被池塘隔开，在 $AB$ 外选一点 $C$，
    连结 $AC$ 和 $BC$，并分别找出 $AC$ 和 $BC$ 的中点 $M$、$N$。
    如果测得 $MN = 20\;\mi$， 那么 $A$、 $B$ 两点间的距离是多少？ 为什么？
}

\xiaoti{已知： 三角形的各边分别为 $6\;\limi$、 $8\;\limi$ 和 $10\;\limi$，
    求连结各边中点所成三角形各边的长。
}

\xiaoti{已知： 梯形 $ABCD$， $AD \pingxing BC$， 对角钱 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$，
    $A'$、$B'$、$C'$、$D'$ 分别是 $AO$、$BO$、$CO$、$DO$ 的中点。求证：
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{四边形 $A'B'C'D'$ 是梯形；}

    \xxt{梯形 $ABCD$ 的周长等于梯形 $A'B'C'D'$ 周长的 2 倍。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[\xxtsep]{梯形的上底长 $8\;\limi$， 下底长 $9\;\limi$， 求中位线长；}

    \xxt{梯形的上底长 $8\;\limi$， 中位线长 $9\;\limi$， 求下底长。}

\end{xiaoxiaotis}

\end{lianxi}
\end{enhancedline}

